Question

已知椭圆的左、右焦点分别是,离心率,过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为.

（1）求椭圆的方程;

（2）若直线过椭圆的右焦点,且与轴不重合,交椭圆于两点,过点且与垂直的直线与圆交于两点,求四边形面积的取值范围.

Answer

（1）（2）

【解析】

试题分析：（1）过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为通径即，而，解方程组得（2）由于四边形对角线相互垂直，所以四边形面积，其中为直线与圆的弦长，可根据圆中垂径定理求解，而为直线与椭圆的弦长，可根据弦长公式求解，先讨论斜率不存在的情形，，再考虑斜率存在情形：设的方程联立方程组，结合韦达定理可得，根据点到直线距离公式可得，代入得，综上可得四边形面积的取值范围为.

试题解析：（1）由于,将代入椭圆方程,即,由题意知,即,又,所以椭圆的方程.

（2）当直线与轴不垂直时,设的方程,

由,得,则,

所以,过点且与垂直的直线,圆心到的距离是,所以.

故四边形面积.可得当与轴不垂直时,四边形面积的取值范围为.当与轴垂直时,其方程为,四边形面积为,综上,四边形面积的取值范围为.

考点：直线与圆位置关系，直线与椭圆位置关系

【方法点睛】有关圆锥曲线弦长问题的求解方法

涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解。涉及中点弦问题往往利用点差法.