Question

已知抛物线，过其焦点作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线，它们分别交抛物线于点、和点、，线段、的中点分别为、.

（Ⅰ）求线段的中点的轨迹方程；

（Ⅱ）求面积的最小值；

（Ⅲ）过、的直线是否过定点?若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）4；（Ⅲ）直线恒过定点.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）要求轨迹方程，而且抛物线的弦中点轨迹方程，可设中点，弦两端点为，，由点差法得直线斜率，又此斜率为，两者相等可得轨迹方程；为了（Ⅱ）的需要，设方程为，代入抛物线方程后可得的一元二次方程，从而有，那么有，即把用表示，同样把也用表示，后消去可得轨迹方程；（Ⅱ）在（Ⅰ）的基础上，得坐标，可求得，把其中的用代替，可得得坐标，，由得的函数，可得最小值；（Ⅲ）利用（Ⅱ）中的坐标求出直线的方程（与有关），变形后发现其过定点，同时证明斜率不存在时也过这个定点．

试题解析：（Ⅰ）由题设条件得焦点坐标为，

设直线的方程为,.

联立，得.

.

设，，则，

，∴.

∴线段的中点的轨迹方程为：.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：.

同理，设，则.

∴,

，

因此.

当且仅当，即时，取到最小值4.

（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知直线的斜率为：，

所以直线的方程为: ,即，（*）

当，时方程（*）对任意的均成立，即直线过点.

当时，直线的方程为：，也过点.

所以直线恒过定点.

考点：求轨迹方程，直线与抛物线相交的综合问题．