Question

如图，在直二面角中，四边形是矩形，，，是以为直角顶点的等腰直角三角形，点是线段上的一点，.

（Ⅰ）证明：面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）要证线面垂直，一般要证两个线线垂直，观察直角三角形中，由已知三个线段长，可由射影定理（或相似三角形）由平面几何知识可证（也可余弦定理求出，再勾股定理证得此结论．），另外有面面垂直，用，可得与平面垂直，从而有，有了这两个线线垂直，就可得线面垂直；（Ⅱ）要求二面角，图形中两两垂直，以它们坐标轴建立空间直角坐标系后，可写出各点坐标，从而可求得平面和平面的法向量，由法向量夹角与二面角相等（或互补）可求得二面角．

试题解析：（Ⅰ）证明：由题意知：，，

.

∵,∴.

∵平面平面，平面平面，

，平面，∴平面.

∵平面，∴.

∵，∴平面.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知、、两两互相垂直，以为原点，方向为轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，则，，，.

∵，，∴．

∴，.

设是平面的法向量，则，

∴，取得平面的一个法向量，

又平面的一个法向量，

设二面角的平面角为，由题中条件可知，

则，

∴二面角的余弦值为.

考点：线面垂直的判断，二面角．

【名师点睛】求二面角，通常是用空间向量法，即建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出二面角两个面的法向量，由法向量的夹角求得二面角．在用这种方法求解时，有一个易错的地方就是不判断二面角是锐角不是钝角，就想当然地认为法向量的夹角就是等于二面角．当然如果图形中已经有棱的垂面了，二面角的平面角已经出现了，因此直接用定义求二面角即可，没必要再用向量法求解．