Question

已知函数.

（1）若函数存在单调增区间，求实数的取值范围；

（2）若，证明：，总有.

Answer

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）借助题设条件分离参数,再求导求其最小值；（2）运用题设条件构造函数运用导数知识分析推证.

试题解析:

（1）由已知得，

因为函数存在单调增区间，所以方程有解.

而恒成立，即有解，所以，

又，所以.

（2）因为，所以，所以，

因为，

所以，

又对于任意，，

要证原不等式成立，只要证，

只要证，对于任意上恒成立，

设函数，，

则，

当时，，即在上是减函数，

当时，，即上是增函数，

所以，在上，，所以.

所以，，（当且仅当时上式取等号）①

设函数，，则，

当时，，即在上是减函数，

当时，，即在上是增函数，

所以在上，，所以，即，

（当且仅当时上式取等号）②，综上所述，，

因为①②不能同时取等号，所以，在上恒成立，

所以，总有成立.

考点：导数及有关知识在研究函数的单调性和最值等方面的综合运用．

【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是含参数的函数解析式为背景,设置了两道问题,其目的是考查导数知识的综合运用及分析问题解决问题的能力.解答本题的第一问时,先将单调递增问题转化为不等式恒成立问题,通过求函数的最值求出参数的取值范围.第二问的不等式证明问题是高中数学问题的难点问题.本题在求证时充分借助题设条件,将欲证不等式进行等价合理转化,然后借助导数这一重要工具逐步分析推证,最后使得问题巧妙获证.