Question

已知函数为常数） 的图象在处的切线方程为.

（1）判断函数的单调性；

（2）已知,且,若对任意,任意与中恰有一个恒成立, 求实数 的取值范围.

Answer

（1）递减（2）

【解析】

试题分析：（1）由导数几何意义得，而所以，又解得（2）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题：，，由于 在上单调递减,所以，再利用变量分离转化为对应函数最值，，易得，；由于恰有一个恒成立,所以一真一假，解得实数 的取值范围为

试题解析：（1）由的定义域为,可得,

由条件可得,把代入可得,

,在上递减.

（2）由（1） 可知, 在上单调递减,在上的最小值为,最大值为,只需,即，,对恒成立或对恒成立, 令,则,令可得.而恒成立, 当时, 单调递减；当时, 单调递增. 最大值为,而,显然,

在上最大值为.又或,即或,

实数的取值范围是.

考点：导数几何意义，利用导数研究不等式恒成立

【思路点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.