Question

如图, 在平面直角坐标系中, 抛物线的准线与轴交于点,过点的直线与抛物线交于两点, 设到准线的距离.

（1）若,求抛物线的标准方程；

（2）若,求证：直线的斜率的平方为定值.

Answer

（1）（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）由抛物线定义得，而，所以轴, 即，（2）由得，又所以，从而，再根据直线方程与抛物线方程联立方程组，消去得,结合韦达定理得，因此

试题解析：（1）,设抛物线的焦点为,,即轴,, 即,得,所以抛物线的方程为.

（2）设,直线的方程为,

将直线的方程代入,消去得,

由得.所以.

,

又,所以,

所以,即直线的斜率的平方为定值.

考点：抛物线定义，直线与抛物线位置关系

【方法点睛】1.求定值问题常见的方法有两种

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

2．定点的探索与证明问题

（1）探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b、k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．

（2）从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．