Question

已知的顶点在圆上，在直线上，且．

（1）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；

（2）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．

Answer

（1），；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由于直线过原点，故直线方程是已知的，可直接求出两点的坐标，求出线段的长，及边上的高和面积；（2）设直线方程为，把方程与椭圆方程联立，消去，得出关于的二次方程，两点的横坐标就是这个方程的两解，故必须满足，而线段的长，线段的长等于平行线与间的距离，再利用勾股定理求出，这时一定是的函数，利用函数知识就可以求得结论。

试题解析：

【解析】
（1）因为 ，且边通过点 ，所以所在直线的方程为．

设两点坐标分别为，，由，解得，

所以 ．

∴直线AB与间的距离为

∴

（2）设直线AB的方程为y=x+m,则|BC|=

由有①，

设A（x1,y1）B（x2,y2）,则x1,x2为方程①的两根，

∴

∴|AB|=

∴|AC|2=|AB|2+|BC|2=

当时|AC|2取得最大值即|AC|取最大值，

此时直线AB的方程为

考点：直线与圆锥曲线的位置关系.