Question

已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若时，恒成立，求实数的取值范围；

（3）设，若，为曲线上的两个不同点，满足，且

，使得曲线在处的切线与直线AB平行，求证：．

Answer

（1）当时，的减区间是，当时，的减区间是，增区间是；（2）；（3）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）先求得定义域，然后求导，对分成两类来讨论的单调区间；（2）当时，等价于，令，利用到处求得，故；（3）先求得直线的斜率，∵在上是减函数， ∴要证：，即证：，即证，令，即证：在恒成立，最后通过构造函数来证明．

试题解析：

（1）∵函数

∴；

当时，恒成立，∴在定义域上是减函数；

当时，，∴在上是增函数；

，∴在上是减函数；

综上所得，时，的减区间是；

时，的减区间是，增区间是；

（2）∵，由（1）可知，时，的减区间是，

∴恒成立，则满足题意；

当时，的减区间是，增区间是；

若，即时在上是减函数，∴满足题意；

当，即时，，令，

即，解得，即满足题意；

综上所得，的取值范围是；

（3）∵

=；

又∵，∴

∵在上是减函数，

∴要证：，即证：，

即证：，

即证：

令，即证：在恒成立

令，

∴在上单调递增，

∴函数在上单调递增，恒成立，

即成立，故得证．

考点：1．函数导数与单调区间；2．函数导数与不等式．

【方法点晴】本题第一问考查分类讨论函数的单调性，导数为，我们观察它的分子，分子是一个二次函数，且开口向下，那么单调区间只要分成两类就可以解决．分类讨论的问题，关键在于如何得到完整的分类标准．二次函数的分类标准主要在于二次项系数、对称轴、两个根的大小关系．制定分类标准要做到不重不漏．