Question

已知椭圆的中心在坐标原点，离心率，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的动直线交椭圆于两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）；（2）存在一个定点满足条件．

【解析】

试题分析：（1）注意到焦点在轴上，故设椭圆的方程为，依题意，焦点为，求得椭圆方程为；（2）若直线与轴重合则以为直径的圆是，若直线垂直于轴，则以为直径的圆是，这两个圆都过．当直线不垂直于轴时，可设直线，联立直线的方程和椭圆的方程，计算得，故在坐标平面上存在一个定点满足条件．

试题解析：（1）设椭圆的方程为，离心率，

又抛物线的焦点为，所以，

椭圆的方程是．

（2）若直线与轴重合，则以为直径的圆是，若直线垂直于轴，

则以为直径的圆是．

由解得即两圆相切于点．

因此所求的点如果存在，只能是．

当直线不垂直于轴时，可设直线．

由消去得．

设，则

又因为，

，即以为直径的圆恒过点．

故在坐标平面上存在一个定点满足条件．

考点：直线与圆锥曲线的位置关系．

【方法点晴】第一问中，题目给了两个条件，一个是离心率为，另一个条件是过抛物线的焦点．通过分析可以知道，抛物线的焦点在轴的正半轴上，所以椭圆的交点也在在轴的正半轴上，故设椭圆的方程为．在求圆锥曲线方程的时候，要特别注意题目中隐藏的焦点所在位置的条件．