已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若时，恒成立，求的取值范围；（3...

已知函数．

（1）当时，求的单调区间；

（2）若时，恒成立，求的取值范围；

（3）试比较与的大小关系，并给出证明．

参考公式：

（1）单调增区间为，单调减区间为；（2）；（3），证明见解析. 【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用导数知识求解；（2）借助题设条件运用导数分类分析求解;（3）依据题设运用导数的知识进行分析求解. 试题解析: （1）当时，令则，解得令则，解得所以，函数的单调增区间为，单调减区间为（2）由函数，则令，由所以，①当时，，为增函数，而，所以，即，所以在上为增函数，而，所以在上恒成立 ②当时，令，即，则，即在上为减函数，而，所以，在上小于0，即，所以在上为减函数，而，故此时，不合题意，综上，（3），事实上，由（2）知，在上为增函数，所以，则，，， … 累加得：即所以，考点：导数的知识和推理证明等有关知识的综合运用．【易错点晴】函数是高中数学的核心内容，也是高考必考的重要考点.运用导数这一工具研究函数的单调性和极值最值等问题是高考的基本题型.解答这类问题时，一定要先求导，再对求导后的导函数的解析式进行变形（因式分解或配方），其目的是搞清求导后所得到的导函数的值的符号，以便确定其单调性，这是解答这类问题容易忽视的.如本题的第一问的求解过程则直接解不等式而获得答案的，第二问则是先构造函数再借助导数求出参数的取值范围；第三问是运用分析转化的思维方式进行推证，最后比较出两个代数式的大小.

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考点分析：

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计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.