Question

计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量 （年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.

（1）求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；

（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：

年入流量
发电机最多可运行台数	1	2	3

若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值（期望）达到最大，应安装发电机多少台？

Answer

（1）；（2）台.

【解析】

试题分析：（1）借助题设运用二项分布的概率公式求解；（2）借助题设条件，运用随机变量的概率分布和数学期望的公式进行求解.

试题解析:

（1）

由二项分布得，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为： .

（2）记水电站年总利润为（单位：万元）

①安装1台发电机的情形：由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润.

②安装2台发电机的情形：依题意当时，一台发电机运行，此时，因此，当时，两台发电机运行，此时，因此.由此得的分布列如下：

4200

10000

0.2

0.8

所以.

③安装3台发电机的情形：依题意，当时，一台发电机运行，此时，因此；当时，两台发电机运行，此时，此时，当时，三台发电机运行，此时，因此，

由此得的分布列如下：

3400

9200

15000

0.2

0.7

0.1

所以.

综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台

考点：二项分布和随机变量的分布及数学期望等有关知识的运用．