Question

已知函数．

（1）若，求曲线在点（1，）处的切线方程；

（2）若函数在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；

（3）令，是否存在实数a，当（e是自然对数的底数）时，函数的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1） （2） （3）存在实数

【解析】

试题分析：（1）由题已知，求函数在点（1，）处的切线方程，可先求导数，再求出该点处的导数值（为斜率），然后代入点斜式方程可得；

（2）由题给出了函数单调区间，可先求导数转化为在在[1，2]上，恒成立，

可借助二次函数的单调性解决；

（3）为存在性问题，可先假设存在，然后由假设出发进行推算，注意对a进行分类讨论，若推出存在的值，则假设成立。

试题解析：（1）当时， ，所以，

又，

所以曲线在点（1，）处的切线方程为

（2）因为函数在[1,2]上是减函数，

所以在[1,2]上恒成立．

令,有，得 ，故

（3）假设存在实数a，使有最小值3，

①时，，所以在上单调递减，

， （舍去）

②当时，在上恒成立，

所以在上单调递减，（舍去）

③当时，令，得，

所以在上单调递减，在上单调递增

所以，，满足条件

综上，存在实数，使得时，有最小值3．

考点：（1）运用导数求切线方程。 （2）导数与单调性。 （3）存在性问题及推理能力。