Question

为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗 ，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）＝（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

（1）求k的值及f（x）的表达式．

（2）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．

Answer

（1）k＝40， f（x）＝20C（x）＋C1（x）＝20×＋6x＝＋6x（0≤x≤10）

（2）x＝5时最小值为f（5）=70

【解析】

试题分析：（1）由C（x）＝，可先求出k的值（C（0）＝8），然后根据题意；f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和，即6x（隔热层建造费用）+20×（20年的能源消耗费）；

（2）由（1）已知函数解析式，可转化为求函数的最值，可运用导数可求出最值。（注意定义域）

试题解析：（1）设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C（x）＝，

再由C（0）＝8，得k＝40，因此C（x）＝，而建造费用为C1（x）＝6x.

最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为

f（x）＝20C（x）＋C1（x）＝20×＋6x＝＋6x（0≤x≤10）．

（2）f ′（x）＝6－，

令f ′（x）＝0，即＝6，解得x＝5，x＝－（舍去）．

当00，

故x＝5是f（x）的最小值点，对应的最小值为f（5）＝6×5＋＝70.

当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．

考点：（1）数学阅读及函数建模能力。 （2）运用导数求函数的最值。