Question

某同学参加高校自主招生门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为

（Ⅰ）求该生至少有门课程取得优秀成绩的概率及求p，q的值；

（Ⅱ）求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望．

Answer

（1）， （2）见解析

【解析】

试题分析：（1）由题为计算相互独立事件同时发生的概率，结合给出的分布列（该生取得优秀成绩的课程数），可分别建立关于p，q的两个方程，可解出；

（2）由（1）和给出的分布列的部分值，只需求出取值为1,2的概率（相互独立事件的概率）补全分布列，代入期望公式可得。

试题解析：用表示“该生第门课程取得优秀成绩”， =1，2，3．

由题意得，

（Ⅰ）该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率为

及，解得，

（Ⅱ）由题设知的可能取值为0，1，2，3

， ，，

0

1

2

3

∴．

∴该生取得优秀成绩的课程门数的期望为．

考点：（1）相互独立事件的概率和方程思想。 （2）随机变量分布列及期望的运用。