Question

已知函数

（1）判断f（x）的奇偶性并证明；

（2）若f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），判断f（x）在定义域上的增减性，并加以证明；

（3）若0＜m＜1，使f（x）的值域为[log_mm（β﹣1），log_mm（α﹣1）]的定义域区间[α，β]（β＞α＞0）是否存在？若存在，求出[α，β]，若不存在，请说明理由．（12分）

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

试题分析：（1）由题为证明函数的奇偶性，需回到定义。题中给出了函数解析式，需先求出函数的定义域，再由定义出发可证出；

（2）由题为证明函数的单调性，需回到定义。题中给出区间，可利用单调性的定义，在具体的变形运算中，需结合对数运算的性质进行分析，同时需对参数m进行分类讨论而得出结论。

（3）为存在性问题，可先假设存在。结合（2）中的单调性结论，建立关于的方程，求解可推出[α，β]的值。

试题解析：（1）由得f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞），关于原点对称．

∵

∴f（x）为奇函数

（2）∵f（x）的定义域为[α，β]（β＞α＞0），则[α，β]⊂（3，+∞）．

设x1，x2∈[α，β]，则x1＜x2，且x1，x2＞3，

f（x1）﹣f（x2）==

∵（x1﹣3）（x2+3）﹣（x1+3）（x2﹣3）=6（x1﹣x2）＜0，

∴（x1﹣3）（x2+3）＜（x1+3）（x2﹣3），即，

∴当0＜m＜1时，logm，即f（x1）＞f（x2）；

当m＞1时，logm，即f（x1）＜f（x2），

故当0＜m＜1时，f（x）为减函数；m＞1时，f（x）为增函数．

（3）由（1）得，当0＜m＜1时，f（x）在[α，β]为递减函数，

∴若存在定义域[α，β]（β＞α＞0），使值域为[logmm（β﹣1），logmm（α﹣1）]，

则有 ∴

∴α，β是方程的两个解

解得当时，[α，β]=，

当时，方程组无解，即[α，β]不存在．

考点：（1）函数奇偶性的定义及证明。 （2）函数单调性的定义及证明。 （3）存在性问题及方程思想。