Question

如图1，在边长为4的正方形中，、分别为、的中点，沿将矩形折起使得二面角的大小为（如图2），点是的中点．

（1）若为棱上一点，且，求证：平面；

（2）求二面角的余弦值（12分）

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

试题分析：（1）由题为证明线与面垂直，可运用线面垂直的判定定理；线与平面中的两条相交直线垂直，则线与面垂直。结合题中的条件，折叠中，再利用，可算出而的证。

（2）由题为求二面角的余弦，可运用空间向量算出。先建立空间坐标系，（以F为坐标原点）再

标出所需点的坐标，写出对应的向量坐标。然后算出对应平面的法向量。最后运用向量坐标的乘法，计算法向量的乘法可得二面角的余弦

试题解析： （1）证明：在矩形中，，，

由得：，又由勾股定理得：，

所以：，

所以：，即：

为正方形，二面角为直二面角，、为中点

所以：面； 所以：

故有：，所以，面

（2）以F为坐标原点，分别以FD,FC,FE为x, y, z轴，如图所示构建空间直角坐标系，则：

，，，

，，

设面EFG的法向量为，面BFG的法向量为，则有：

，， 即：，

故可取：，，

考点：（1）线与面垂直的证明. （2）运用空间向量算二面角。