Question

已知函数.

（1）设.

①求方程=2的根；

②若对任意，不等式恒成立，求实数m的最大值；

（2）若，函数有且只有1个零点，求ab的值.

Answer

（1）①0 ②4 （2）1

【解析】

试题分析：（1）①根据指数间倒数关系转化为一元二次方程，求方程根；②根据指数间平方关系，将不等式转化为一元不等式，再利用变量分离转化为对应函数最值，最后根据基本不等式求最值；（2）根据导函数零点情况，确定函数单调变化趋势，结合图象确定唯一零点必在极值点取得，从而建立等量关系，求出ab的值.

试题解析：（1）因为，所以.

①方程，即，亦即，

所以，于是，解得.

②由条件知.

因为对于恒成立，且，

所以对于恒成立.

而，且，

所以，故实数的最大值为4.

（2）因为函数只有1个零点，而，

所以0是函数的唯一零点.

因为，又由知，

所以有唯一解.

令，则，

从而对任意，，所以是上的单调增函数，

于是当，；当时，.

因而函数在上是单调减函数，在上是单调增函数.

下证.

若，则，于是，

又，且函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和之间存在的零点，记为. 因为，所以，又，所以与“0是函数的唯一零点”矛盾.

若，同理可得，在和之间存在的非0的零点，矛盾.

因此，.

于是，故，所以.

【考点】指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点

【名师点睛】对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图等确定其中参数的范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数.