Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B₁B上，且 ，.

求证：（1）直线DE平面A₁C₁F；

（2）平面B₁DE⊥平面A₁C₁F.

Answer

（1）详见解析（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）利用线面平行判定定理证明线面平行，而线线平行的寻找往往结合平面几何的知识，如中位线的性质等；（2）利用面面垂直判定定理证明，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，往往需要多次利用线面垂直性质定理与判定定理.

试题解析：证明：（1）在直三棱柱中，

在三角形ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，

所以，于是，

又因为DE平面平面，

所以直线DE//平面.

（2）在直三棱柱中，

因为平面，所以，

又因为，

所以平面.

因为平面，所以.

又因为，

所以.

因为直线，所以

【考点】直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系

【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直；（4）证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.