Question

如图，在平面直角坐标系中，已知以为圆心的圆:及其上一点A（2，4）.

（1）设圆N与x轴相切，与圆外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；

（2）设平行于OA的直线l与圆相交于B，C两点，且BC=OA，求直线l的方程；

（3）设点T（t，0）满足：存在圆上的两点P和Q，使得，求实数t的取值范围.

Answer

（1）（2）（3）

【解析】

试题分析：（1）根据直线与x轴相切确定圆心位置，再根据两圆外切建立等量关系求半径;（2）根据垂径定理确定等量关系，求直线方程；（3）利用向量加法几何意义建立等量关系，根据圆中弦长范围建立不等式，求解即得参数取值范围.

试题解析：【解析】
圆M的标准方程为，所以圆心M（6，7），半径为5，.

（1）由圆心N在直线x=6上，可设.因为N与x轴相切，与圆M外切，

所以，于是圆N的半径为，从而，解得.

因此，圆N的标准方程为.

（2）因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为.

设直线l的方程为y=2x+m，即2x-y+m=0，

则圆心M到直线l的距离

因为

而

所以，解得m=5或m=-15.

故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.

（3）设

因为，所以 ……①

因为点Q在圆M上，所以 …….②

将①代入②，得.

于是点既在圆M上，又在圆上，

从而圆与圆没有公共点，

所以 解得.

因此，实数t的取值范围是.

【考点】直线方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系、平面向量的运算

【名师点睛】直线与圆中的三个定理：切线的性质定理，切线长定理，垂径定理；两个公式：点到直线距离公式及弦长公式，其核心都是转化到与圆心、半径的关系上，这是解决直线与圆的根本思路.对于多元问题，也可先确定主元，如本题以为主元，揭示在两个圆上运动，从而转化为两个圆有交点这一位置关系，这也是解决直线与圆问题的一个思路，即将问题转化为直线与圆、圆与圆的位置关系问题.