Question

设函数，，其中.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）若存在极值点，且，其中，求证：；

（Ⅲ）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于.

Answer

（Ⅰ）递减区间为，递增区间为，；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数：，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：①当时，有恒成立，所以的单调增区间为.②当时，存在三个单调区间（Ⅱ）由题意得即，再由化简可得结论；（Ⅲ）实质研究函数的最大值：主要比较，的大小即可，分三种情况研究①当时，，②当时，，③当时，.

试题解析：（Ⅰ）【解析】
由，可得，下面分两种情况讨论：

（1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.

（2）当时，令，解得或.

当变化时，，的变化情况如下表：

0

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.

（Ⅱ）证明：因为存在极值点，所以由（Ⅰ）知且.

由题意，得，即，

进而，

又，且，

由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数满足，且，因此，

所以.

（Ⅲ）证明：设在区间上的最大值为，表示，两数的最大值，下面分三种情况讨论：

（1）当时，，由（Ⅰ） 知，在区间上单调递减，

所以在区间上的取值范围为，因此，

所以.

（2）当时，，

由（Ⅰ）和（Ⅱ） 知，，

所以在区间上的取值范围为，

因此M=

.

（3）当时，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，

，，

所以在区间上的取值范围为，因此，

.

综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.

【考点】导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式

【名师点睛】

1.求可导函数单调区间的一般步骤：

（1）确定函数f（x）的定义域（定义域优先）；

（2）求导函数；

（3）在函数f（x）的定义域内求不等式或的解集．

（4）由（）的解集确定函数f（x）的单调增（减）区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．

2.由函数f（x）在（a，b）上的单调性，求参数范围问题，可转化为 （或）恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．