Question

如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，BC=EF=1，AE=，DE=3，∠BAD=60º，G为BC的中点.

（Ⅰ）求证：FG平面BED；

（Ⅱ）求证：平面BED⊥平面AED；

（Ⅲ）求直线EF与平面BED所成角的正弦值.

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行寻找与论证，往往结合平面几何知识，如本题构造一个平行四边形：取的中点为，可证四边形是平行四边形，从而得出；（Ⅱ）面面垂直的证明，一般转化为证线面垂直，而线面垂直的证明，往往需多次利用线面垂直判定与性质定理，而线线垂直的证明有时需要利用平面几何的知识，如本题可由余弦定理解出°，即；（Ⅲ）求线面角，关键作出射影，即面的垂线，可利用面面垂直的性质定理得到线面垂直，即面的垂线：过点作于点，则平面，从而直线与平面所成角即为.再结合三角形可求得正弦值.

试题解析：（Ⅰ）证明：取中点，连接，在中，因为是中点，所以且，又因为，所以且，即四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.

（Ⅱ）证明：在中，°，由余弦定理可得，进而得°，即，又因为平面平面平面，平面平面，所以平面.又因为平面，所以，平面平面.

（Ⅲ）【解析】
因为，所以直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角.过点作于点，连接，又平面平面，由（Ⅱ）知平面，所以直线与平面所成的角即为.在中，，由余弦定理得，所以，因此，，在中，，所以，直线EF与平面所成角的正弦值为.

【考点】直线与平面平行和垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角

【名师点睛】垂直、平行关系的证明中应用转化与化归思想的常见类型：

（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.

（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.

（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.

（4）证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.