Question

某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：

现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元.分别用x,y计划表示生产甲、乙两种肥料的车皮数.

（Ⅰ）用x,y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

（Ⅱ）问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）生产甲种肥料车皮，乙种肥料车皮时利润最大，且最大利润为万元

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据生产原料不能超过A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，列不等关系式，即可行域，再根据直线及区域画出可行域；（Ⅱ）目标函数为利润，根据直线平移及截距变化规律确定最大利润.

试题解析：（Ⅰ）【解析】
由已知，满足的数学关系式为，该二元一次不等式组所表示的平面区域为下图中的阴影部分：

（图 1）

（Ⅱ）【解析】
设利润为万元，则目标函数为.考虑z=2x+3y，将它变形为 ，这是斜率为，随变化的一族平行直线.为直线在轴上的截距，当取最大值时，的值最大.又因为满足约束条件，所以由图2可知，当直线经过可行域上的点时，截距最大，即最大.解方程组，得点的坐标为，所以.

答：生产甲种肥料车皮、乙种肥料车皮时利润最大，且最大利润为万元.

（图 2）

【考点】线性规划

【名师点睛】解线性规划应用问题的一般步骤是：（1）分析题意，设出未知量；（2）列出线性约束条件和目标函数；（3）作出可行域并利用数形结合求解；（4）作答．而求线性规划的最值问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数在何处取得最值.