Question

设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中 为原点，为椭圆的离心率.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定即可，由，得，再利用，即可解得，；（Ⅱ）先化简条件：，即M在OA中垂线上，，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程求点的坐标；利用两直线的方程列方程组求点H的坐标，最后根据，列等量关系解出直线斜率.

试题解析：（Ⅰ）【解析】
设，由，即，可得，又，所以，因此，所以，椭圆的方程为.

（Ⅱ）【解析】
设直线l的斜率为，则直线的方程为，

设，由方程组 消去，

整理得，解得，或，

由题意得，从而，

由（Ⅰ）知，，设，有，，

由，得，所以，

解得，因此直线的方程为，

设，由方程组 消去，解得，

在中，，

即，化简得，即，

解得或，

所以，直线的斜率为或.

【考点】椭圆的标准方程和几何性质、直线方程

【名师点睛】解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．