Question

已知函数.

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）若有两个零点，求的取值范围.

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求得再根据1,0,2a的大小进行分类确定的单调性；（Ⅱ）借助第（Ⅰ）问的结论,通过分类讨论函数的单调性,确定零点个数,从而可得a的取值范围为.

试题解析：（Ⅰ）

（Ⅰ）设，则当时，；当时，.

所以f（x）在单调递减，在单调递增.

（Ⅱ）设，由得x=1或x=ln（-2a）.

①若，则，所以在单调递增.

②若，则ln（-2a）＜1,故当时，；

当时，，所以在单调递增，在单调递减.

③若，则，故当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减.

（Ⅱ）（Ⅰ）设，则由（Ⅰ）知，在单调递减，在单调递增.

又，取b满足b＜0且，

则，所以有两个零点.

（Ⅱ）设a=0，则，所以只有一个零点.

（iii）设a＜0，若，则由（Ⅰ）知，在单调递增.

又当时，＜0，故不存在两个零点；若，则由（Ⅰ）知，在单调递减，在单调递增.又当时＜0，故不存在两个零点.

综上，a的取值范围为.

【考点】函数单调性，导数应用

【名师点睛】本题第（Ⅰ）问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第（Ⅱ）问是求参数取值范围,由于这类问题常涉及导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.