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如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的...

如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点DD在平面PAB内的正投影为点EPE并延长交AB于点G.

证明G是AB的中点;

在图中作出点E在平面PAC内的正投影F说明作法及理由,并求四面体PDEF的体积.

 

(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)作图见解析,体积为. 【解析】 试题分析:证明由可得是的中点.(Ⅱ)在平面内,过点作的平行线交于点,即为在平面内的正投影.根据正三棱锥的侧面是直角三角形且,可得 在等腰直角三角形中,可得四面体的体积 试题解析:(Ⅰ)因为在平面内的正投影为,所以 因为在平面内的正投影为,所以 所以平面,故 又由已知可得,,从而是的中点. (Ⅱ)在平面内,过点作的平行线交于点,即为在平面内的正投影. 理由如下:由已知可得,,又,所以,因此平面,即点为在平面内的正投影. 连结,因为在平面内的正投影为,所以是正三角形的中心. 由(Ⅰ)知,是的中点,所以在上,故 由题设可得平面,平面,所以,因此 由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且,可得 在等腰直角三角形中,可得 所以四面体的体积 【考点】线面位置关系及几何体体积的计算 【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,注意防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.  
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