Question

已知函数f（x）=x﹣axlnx，a∈R．

（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）设，若函数g（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；

（Ⅲ）若，使得成立，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；（Ⅱ）a≥；最小值为；(Ⅲ）a≥﹣．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

（Ⅱ）由已知得f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），f′（x）=﹣a+在（1，+∞）上恒成立，由此利用导数性质能求出a的最大值；

（Ⅲ）通过分析，问题等价于：“当x∈[e，e2]时，有gmax（x）≤”，结合（Ⅱ）及g′（x），分①a≥、②a≤0、③0＜a＜三种情况讨论即可．

【解析】
（Ⅰ）a=1时，f（x））=x﹣xlnx，f′（x）=﹣lnx，

令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，

∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；

（Ⅱ）由已知得g（x）=﹣ax，函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞），

∵g（x）在（1，+∞）上为减函数，

∴g′（x）=﹣a+≤0在（1，+∞）上恒成立，

﹣a≤﹣=（﹣）2﹣，

令h（x）=（﹣）2﹣，

故当=，即x=e2时，

h（x）的最小值为﹣，∴﹣a≤﹣，

即a≥；最小值为；

（Ⅲ）若，使得成立，结合（Ⅱ）得：

问题等价于：“当x∈[e，e2]时，有gmax（x）≤”，

∵g′（x）=﹣a+，由（Ⅱ）知∈[0，]，

①当a≥时，g′（x）≤0在[e，e2]上恒成立，因此f（x）在[e，e2]上为减函数，

则fmax（x）=g（e）=e﹣ae≤，故a≥1﹣；

②当a≤0时，g′（x）≥0在[e，e2]上恒成立，因此g（x）在[e，e2]上为增函数，

则gmax（x）=g（e2）=﹣ae2+≤，解得：a≥﹣，不合题意；

③当0＜a＜时，由g′（x）在[e，e2]上为增函数，

故g′（x） 的值域为[g′（e），g′（e2）]，即[﹣a，﹣a]．

由g′（x）的单调性和值域知，存在唯一x0∈（e，e2），使g′（x0）=0，且满足：

当x∈（e，x0），时，g′（x）＜0，此时g（x）为减函数；

当x∈（x0，e2），时，g′（x）＞0，此时g（x）为增函数；

所以，gmax（x）=max{g（e）或g（e2）}与0＜a＜矛盾，不合题意．

综上所述，得a≥﹣．