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如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1C1C是矩形,侧面AA1C1C⊥侧面...

如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1C1C是矩形,侧面AA1C1C⊥侧面AA1B1B,且AB=4AA1=4,∠BAA1=60°,D是AB的中点.

(Ⅰ)求证:AC1∥平面CDB1

(Ⅱ)求证:DA1⊥平面AA1C1C.

 

(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析 【解析】 试题分析:(1)连结A1C交AC1于F,取B1C中点E,连结DE,EF.则可利用中位线定理证明四边形ADEF是平行四边形,得出AF∥CD,从而证明AC1∥平面CDB1. (2)求出AA1和AD的长,使用余弦定理求出A1D,由勾股定理的逆定理证出A1D⊥AA1,由面面垂直可得出AC⊥平面ABB1A1,进而得出AC⊥A1D,得出DA1⊥平面AA1C1C. 证明:(1)连结A1C交AC1于F,取B1C中点E,连结DE,EF. ∵四边形AA1C1C是矩形,∴F是A1C的中点, ∴EF∥A1B1,EF=A1B1, ∵四边形ABB1A1是平行四边形,D是AB的中点, ∴AD∥A1B1,AD=A1B1, ∴四边形ADEF是平行四边形,∴AF∥DE,即AC1∥DE. 又∵DE⊂平面CDB1,AC1⊄平面CDB1, ∴AC1∥平面CDB1. (2)∵AB=4AA1=4,D是AB中点,∴AA1=1,AD=2, ∵∠BAA1=60°,∴A1D==. ∴AA12+A1D2=AD2,∴A1D⊥AA1, ∵侧面AA1C1C⊥侧面AA1B1B,侧面AA1C1C∩侧面AA1B1B=AA1,AC⊥AA1,AC⊂平面AA1C1C, ∴AC⊥平面AA1B1B,∵A1D⊂平面AA1B1B, ∴AC⊥A1D,又∵AA1⊂平面AA1C1C,AC⊂平面AA1C1C,AC∩AA1=A, ∴DA1⊥平面AA1C1C.  
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