Question

已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为圆M：x²+y²﹣4x=0的圆心，直线l与抛物线C的准线和y轴分别交于点P、Q，且P、Q的纵坐标分别为3t﹣、2t（t∈R，t≠0）．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）求证：直线l恒与圆M相切．

Answer

（Ⅰ）y2=8x；（Ⅱ）见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用焦点为圆M：x2+y2﹣4x=0的圆心求出p值即可求出抛物线C的方程；

（Ⅱ）先求出直线PQ的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，即可证明直线PQ恒与圆M相切．

【解析】
（Ⅰ）设抛物线C的方程为y2=2px（p＞0），

因为焦点为圆M：x2+y2﹣4x=0的圆心，所以p=4，

因此抛物线C的方程为y2=8x；（4分）

（Ⅱ）由题意可知，P（﹣2，3t﹣），Q（0，2t），

则直线PQ方程为：y﹣2t=x，

即（t2﹣1）x+2ty﹣4t2=0，

圆心M（2，0）到直线PQ的距离=2，

因此直线l恒与圆M相切．