Question

已知椭圆，其焦点在⊙O：x²+y²=4上，A，B是椭圆的左右顶点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）M，N分别是椭圆C和⊙O上的动点（M，N不在y轴同侧），且直线MN与y轴垂直，直线AM，BM分别与y轴交于点P，Q，求证：PN⊥QN．

Answer

（Ⅰ）+=1；（Ⅱ）见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题意可得焦点为（±2，0），可得c=2，由点满足椭圆方程，即可得到所求方程；

（Ⅱ）令M（m，t），N（n，t），（m＜0，n＞0），可得m2+2t2=8，n2+t2=4，设P（0，p），Q（0，q），运用三点共线，可得p，q，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，化简整理即可得证．

【解析】
（Ⅰ）由题意可得焦点为（±2，0），

可得c=2，即a2﹣b2=4，

又+=1，

解得a=2，b=2，

即有椭圆的方程为+=1；

（Ⅱ）证明：令M（m，t），N（n，t），（m＜0，n＞0），

可得m2+2t2=8，n2+t2=4，

可得A（﹣2，0），B（2，0），

设P（0，p），Q（0，q），

由A，M，P三点共线可得kAM=kAP，

即有=，可得p=；

由B，M，Q三点共线可得kBM=kBQ，

即有=，可得q=．

由kPN•kQN=•

=，

由m2+2t2=8，n2+t2=4，可得m2﹣8=﹣2t2，

n2=4﹣t2，m2=2（4﹣t2），即为m2=2n2，

可得==﹣1，

即有PN⊥QN．