Question

设f（x）=﹣x³+x²+2ax．

（1）若f（x）在（，+∞）上是单调减函数，求实数a的取值范围．

（2）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上的最小值为﹣，求f（x）在该区间的最大值．

Answer

（1）实数a的取值范围为．（2）f（x）在[1，4]上的最大值为．

【解析】

试题分析：（1）由已知得f′（x）=﹣x2+x+2a，求出函数的最值，继而得到a的取值范围．

（2）先根据导数求出极值点．在判断函数的再某个区间上的单调性，根据单调性得到最值．

【解析】
（1）由．

当时，f'（x）的最大值为．

因为f（x）在上是单调减函数，则f'（x）≤0在上成立，

所以，解得，故所求实数a的取值范围为．

（2）令．

因为当x＜x1或x＞x2时f'（x）＜0，当x1＜x＜x2时f'（x）＞0

所以f（x）在（﹣∞，x1）和（x2，+∞）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增．

当0＜a＜2时，有x1＜1＜x2＜4，所以f（x）在[1，4]上的最大值为f（x2），

又．

所以f（x）在[1，4]上的最小值为．

得a=1，x2=2，从而f（x）在[1，4]上的最大值为．