Question

已知数列{a_n}满足a_n+1=a_n²﹣na_n+1（n∈N^*），且a₁=3．

（1）计算a₂，a₃，a₄的值，由此猜想数列{a_n}的通项公式，并给出证明；

（2）求证：当n≥2时，a_nⁿ≥4nⁿ．

Answer

（1）见解析；（2）见解析

【解析】

试题分析：（1）由，且a1=3，分别令 n=1，2，3即可求解，进而可猜想，然后利用数学归纳法进行证明即可

（2）由（1）可得an=n+2，从而有=（n+2）n，利用二项式定理展开后即可证明

【解析】
（1）∵，且a1=3．

∴a2=4，a3=5，a4=6

猜想an=n+2

证明：①当n=1时显然成立

②假设n=k时（k≥1）时成立，即ak=k+2

则n=k+1时，ak+1==

=k+3即n=k+1时命题成立

综上可得，an=n+2

证明：（2）∵an=n+2，n≥2

∴=（n+2）n=

≥

≥5nn﹣2nn﹣1=4nn+nn﹣1（n﹣2）≥4nn，即证