Question

已知定点及椭圆，过点的动直线与椭圆相交于两点.

(Ⅰ)若线段中点的横坐标是，求直线的方程；

(Ⅱ)在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由

Answer

(Ⅰ)直线的方程为或，(Ⅱ)在轴上存在定点，使为常数.

【解析】

试题分析： （1）根据题意，设出直线的方程，将直线方程代入椭圆，用设而不求韦达定理方法表示出中点坐标，此时代入已知中点的横坐标即可求出直线的方程．

（2）假设存在点，使为常数．分别分当直线与轴不垂直时以及当直线与轴垂直时求出点的坐标．最后综合两种情况得出结论．

试题解析：(Ⅰ) 依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，

将代入，消去整理得

设，则

由线段中点的横坐标是，得，解得，适合（1）．

所以直线的方程为或

(Ⅱ)假设在轴上存在点，使为常数.①当直线与轴不垂直时，由(Ⅰ)知

(3)，所以.将(3)代入，整理得.

注意到是与无关的常数，从而有，此时.②当直线与轴垂直时，此时点的坐标分别为.当时，亦有，综上，在轴上存在定点，使为常数.

考点：直线的方程，直线与椭圆的位置关系