Question

已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题意知，能够导出．再由可以导出椭圆C的方程；（Ⅱ）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x-4）．由得，再由根与系数的关系证明直线AE与x轴相交于定点Q（1，0）；

（Ⅲ）分MN的斜率存在与不存在两种情况讨论，当过点Q直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=m（x-1），且M，N在椭圆C上．由得．再由根据判别式和根与系数的关系求解的取值范围；当过点Q直线MN的斜率不存在时，其方程为x=1，易得M、N的坐标，进而可得的取值范围，综合可得答案

试题解析：（Ⅰ）由题意知，

所以．

即．

又因为，

所以a2=4，b2=3．

故椭圆C的方程为．

（Ⅱ）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k（x﹣4）．

由得（4k2+3）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0．①

设点B（x1，y1），E（x2，y2），则A（x1，﹣y1）．

直线AE的方程为．

令y=0，得．

将y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4）代入，

整理，得．②

由①得，代入②

整理，得x=1．

所以直线AE与x轴相交于定点Q（1，0）．

（Ⅲ）当过点Q直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=m（x﹣1），且M（xM，yM），N（xN，yN）在椭圆C上．

由得（4m2+3）x2﹣8m2x+4m2﹣12=0．

易知△＞0．

所以，，．

则=．

因为m2≥0，所以．

所以．

当过点Q直线MN的斜率不存在时，其方程为x=1．

解得，N（1，）或M（1，）、N（1，﹣）．

此时．

所以的取值范围是．

考点：椭圆方程及直线与椭圆相交的综合问题