Question

如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，底面△ABC是直角三角形，AB=AC=1，AA₁=2，点P是棱BB₁上一点，满足=λ（0≤λ≤1）．

（1）若，求直线PC与平面A₁BC所成角的正弦值；

（2）若二面角P﹣A₁C﹣B的正弦值为，求λ的值．

Answer

（1）（2）1

【解析】

试题分析：（1）如图所示，建立空间直角坐标系，设平面的法向量为，则，可得．设直线PC与平面所成角为θ，则；（2）设二面角P--B的平面角为α，由图可知为锐角，由于sinα=，可得cosα,由于（0≤λ≤1），可得P（1，0，2λ）．设平面的法向量为，，即可得出

试题解析：（1）如图所示，建立空间直角坐标系，

A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，2），P．

=（1，0，﹣2），=（﹣1，1，0），=．

设平面A1BC的法向量为=（x，y，z），

则，即，取=（2，2，1），

设直线PC与平面A1BC所成角为θ，

则sinθ====．

（2）设二面角P﹣A1C﹣B的平面角为α，由图可知为锐角，

∵sinα=，∴cosα==．

∵=λ（0≤λ≤1），

∴P（1，0，2λ）．

∴=（1，﹣1，2λ），=（1，0，2λ﹣2）．

设平面A1CP的法向量为=（x0，y0，z0），

则，即，

取=（2﹣2λ，2，1），

∴===．

∴=．

化简解得：λ2+8λ﹣9=0，0≤λ≤1，

解得λ=1．

考点：二面角的平面角及求法；直线与平面所成的角