Question

选修4-1：几何证明选讲

如图，已知为圆的一条直径，以端点为圆心的圆交直线于两点，交圆于两点，过点作垂直于的直线，交直线于点．

（1）求证：四点共圆；

（2）若，求外接圆的半径．

Answer

（1）详见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）证明四点共圆，一般证明其对角互补，由于，因此只需证明，而为圆的一条直径，因此成立（2）由切割线定理得，解出，再由三角形相似，得，最后根据勾股数得直径

试题解析：（1）因为为圆的一条直径，

所以．

又，

故四点在以为直径的圆上.

所以，四点共圆

（2）由题意得与圆相切于点，

由切割线定理得，

即，

所以，

又，则，得.

连接（图略），由（1）可知，为外接圆的直径.

，

故的外接圆的半径为

考点：四点共圆，切割线定理，三角形相似

【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路

（1）直接应用相交弦、切割线定理及其推论；（2）当比例式（等积式）中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．

2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．