Question

已知圆，点是圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点 .

（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹曲线的方程；

（2）若直线是过点且相互垂直的两条直线，其中直线交曲线于两点，直线与圆相交于两点，求四边形面积等于14时直线的方程．

Answer

（1）（2）或

【解析】

试题分析：（1）根据垂直平方线性质得，因此，结合椭圆定义可知点的轨迹是以点为焦点，为长轴的椭圆，因此，方程为（2）四边形面积，因此实质为直线被椭圆截得弦长问题，联立直线方程与椭圆方程，消去一个未知数得到一个一元二次方程，利用韦达定理及弦长公式列出等量关系：直线的方程为：，则，，解得

试题解析：（1）连接，∵，∴，

故点的轨迹是以点为焦点，为长轴的椭圆，

所以，

点的轨迹曲线的方程为：

（2）①当直线的斜率不存在时，则直线的方程为：，直线的方程为：，故，∴，不合题意，故直线的斜率存在．

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，

∴.

联立，

∴，

∴，

∴，

∴

∴，∴，

此时，直线的方程为或

考点：定义法求轨迹方程，直线被椭圆截得弦长问题