Question

在如图所示的几何体中，平面平面，四边形平行四边形，．

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥的体积．

Answer

（1）详见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）证明线面垂直，一般利用线面垂直判定定理和性质定理，经多次转化进行论证.本题条件为面面垂直，利用其性质定理转化为线面垂直平面，得到线线垂直，根据勾股数得，因而可证线面垂直平面（2）求三棱锥体积，实质是确定高，即面的垂线. 取的中点，根据等腰三角形性质得，再由面面垂直性质定理得平面，最后根据等体积将所求体积转化：

试题解析：①∵平面平面，且平面平面，

∵平面，

∴平面

平面，∴，

又，

∴，

∴

且，∴平面

（2）

设的中点为，连接，

∵，∴

∵平面平面，且平面平面，

∴平面

∵平面，

所以点到平面的距离就等于点到平面的距离，

即点到平面的距离为的长

∴，

∵，

∴，即三棱锥的体积为

考点：线面垂直判定定理和性质定理，面面垂直性质定理，三棱锥体积

【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.

（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.

（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.

（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.