Question

已知．

（1）若是的极值点，讨论的单调性；

（2）当时，证明：在定义域内无零点．

Answer

（1）在内单调递增，在内单调递减（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）先求函数导数，再根据极值定义得，解得，研究导函数零点，只有一个，列表分析可得函数单调性（2）因为，所以讨论具体函数最值：在上有唯一的零点，满足，且在处取最大值.再研究最大值符号：，因此，无零点

试题解析：（1）∵，由是的极值点，知，

故，∴，

当时，，则，所以在内单调递增；

当时，，则，所以在内单调递减

（2）因为函数的定义域为，

当时，，∴

令，令，∴，

∴在上递减，又，，

∴在上有唯一的零点，

∴，∴

当时，则，所以在内单调递增；

当时，则，所以在内单调递减.

∴

故当时，，故，

所以当时，在定义域内无零点

考点：利用导数求函数单调区间，利用导数研究函数零点

【思路点睛】导数与函数的单调性

（1）函数单调性的判定方法：设函数y＝f（x）在某个区间内可导，如果f′（x）＞0，则

y＝f（x）在该区间为增函数；如果f′（x）＜0，则y＝f（x）在该区间为减函数.

（2）函数单调性问题包括：①求函数的单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.