Question

在平面直角坐标系中，曲线（为参数），其中，以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，射线，设射线与曲线交于点，当时，射线与曲线交于点，，；当时，射线与曲线交于点，.

（1）求曲线的普通方程；

（2）设直线（为参数，）与曲线交于点，若，求的面积.

Answer

（1） ；（2）.

【解析】

试题分析：（1） 先求曲线的普通方程，再极坐标方程，分别令、代入极坐标方程，得，即点的极坐标为、，将代入曲线：，得，即点的极坐标为，进而求的值；（2）先求直线的普通方程，可得斜率为，由求得，由代求得，再代入面积公式即可求解.

试题解析：【解析】
（1）∵曲线的参数方程为 (为参数)，且，

∴曲线的普通方程为，

而其极坐标方程为．

∵将射线l：代入曲线：，

得，即点P的极坐标为；

将射线l：代入曲线：，

得，即点Q的极坐标为．

又，即，或．

∵将射线l：代入曲线：，

得，即点P的极坐标为，

又，．

，，

∴曲线的普通方程为．

（2）∵直线的参数方程为 (t为参数，)，

∴直线的普通方程为，

而其极坐标方程为，

∴将直线：代入曲线：，

得，即．

∵将射线l：代入曲线：，

得，即，

∴设的面积为S，．

考点：1、曲线的普通方程；2、曲线的极坐标方程；3、曲线的极坐标方程；4、三角形的面积公式.

【方法点晴】本题主要考查曲线的普通方程、曲线的极坐标方程、曲线的极坐标方程和三角形的面积公式，本题属于中档题.本题对直线的极坐标方程和方程思想的考查非常的细腻，需要考生对极径、极角的几何意义要有深刻的理解，方能迅速解题.解这类题目一般秉承这样的原则：能运用几何意义进行求解的尽量运用，不会或不能应用的则将极坐标方程和参数方程全转化为普通方程在求解.