Question

如图，在底面为菱形的四棱锥中，平面，为的中点，，.

（1）求证：平面；

（2）若三棱锥的体积为1，求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）试题分析：(1) 连接交于点，连接，易得,根据线面平行的判定即可得证.（2）由等积法易得三棱锥的体积为三棱锥体积的一半，可求得，同理可得，再求和,进而求得正解.

试题解析：（1）证明：如图，连接交于点，连接．

∵点分别为的中点，．

（2）由等积法易得三棱锥的体积为三棱锥体积的一半，可求得，即可建系求出各点坐标，进而求得两个半平面的法向量，从而求出二面角的余弦值.

试题解析：（1）证明：如图3，连接交于点，连接．

∵点分别为的中点，．

又，，．

（2）【解析】

，．

∵底面四边形为菱形，，

，．

如图，以O为原点建立空间直角坐标系，，

则．

设平面PBC的法向量为，

，

．

，，．

又，，AC，，

，

∴平面PAC的法向量为，

，

由图可知二面角A−PC−B的平面角是锐角，

∴二面角A−PC−B的余弦值为．

考点：1、线面平行的判定；2、锥体的体积；3、法向量；4、二面角.