Question

已知函数（其中，是自然对数的底数），为导函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若时，都有解，求的取值范围；

（3）若，试证明：对任意，恒成立．

Answer

（1）；（2）；（3）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）由导数的几何意义，求出，得，再求得，就点斜式可得切线方程；（2）由得，函数（）的值域就是的取值范围；（3）由，得，在时，不等式可化为，此不等式的证明采取特殊方法（不具有一般性，当然这是本题化繁为简的一种手法），一是证明的最大值是，二是证明，即证，由导数的应用易证．

试题解析：（1）由得，，所以曲线在点

处的切线斜率为，，曲线切线方程为

，即．

（2）由得，令，

，，所以在上单调递减，又当趋向于时，

趋向于正无穷大，故，即．

（3）由，得，

令，所以，，

因此，对任意，等价于，

由，，得，，

因此，当时，，单调递增；时，，单调递减，

所以的最大值为，故，

设，

，所以时，，单调递增，，

故时，，即，

所以．

因此，对任意，恒成立．

考点：导数的几何意义，导数与单调性，不等式恒成立．导数的综合应用．

【名师点睛】1．函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．求在切点处的导数值即对应切线的斜率是求切线方程的重要条件．

2．不等式恒成立问题通常通过分离参数法转化为（或），这样问题就变成求函数的最值问题，而这可以利用导数研究函数的单调性，极值得出，最后只要解不等式（或）即得．