Question

已知椭圆的一个焦点为，左右顶点分别为．经过点的直线与椭圆交于两点．

（1）求椭圆方程,并求当直线的倾斜角为时，求线段的长；

（2）记与的面积分别为和，求的最大值．

Answer

（1），；（2）．

【解析】

试题分析：（1）方程中只有一个参数，由焦点为，可求得，得椭圆方程．直线方程为，代入椭圆方程，可得，由弦长公式得弦长（也可求得交点坐标，得弦长）；（2）设，，直线方程为，则有，，，而可由直线方程与椭圆方程联立消去后，应用韦达定理求得，再由基本不等式得最值．

试题解析：（1）因为为椭圆的焦点,所以又

所以所以椭圆方程为

因为直线的倾斜角为,所以直线的斜率为1,所以直线方程为,和椭圆方程联立得到,消掉,得到

所以

所以

（2）设直线的方程为：，则

由 得，．

设，，则，

所以，，，

当时，．

由，得 ．当时，

从而，当时，取得最大值．

考点：椭圆标准方程，直线与椭圆相交弦长问题，基本不等式．