Question

设函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）令，其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；

（3）当时，令，若与的图象有两个交点，求证：.

Answer

（1）增区间为，单减区间为；（2）；（3）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）先把代入，求出的定义域，再求出，由求出增区间，由求出减区间；（2）求出的导数，得切线斜率恒成立，即，恒成立，构造函数，求在上的最大值小于或等于即可；（3）由题意知，，消去得，不妨设，记，构造函数，由导数确定在上单调递增，从而可得，即，再由基本不等式放缩得到即，令，再由导数确定在上单调递增，结合，得到，即.

试题解析：（1），定义域，

，

令，解得，令，解得，

∴的单增区间为，单减区间为.

（2），，

∴，即，

令，∴在上单调递增，

∴，∴，∴.

（3），定义域，

∴①，②，

①+②得，即，③

②-①得，即，④

由③④得，不妨设，记，

令，∴，

∴在上单调递增，∴，

∴，即，∴，

∴，

∴，即，

令，∴，∴在上单调递增.

又，∴，

即，∴，∴.

考点：1、利用导数研究函数单调性；2、利用导数研究曲线上某点切线方程．