Question

在等比数列中，，成等差数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，的前项和为，求使成立的正整数的最大值.

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）设数列的公比为，建立关于的方程求得，再利用等比数列的通项公式求得；（2）通过作差法求出数列的通项，再利用错位相减法求得的前项和为，再解不等式即得正整数的最大值．

试题解析：（1）设数列的公比为，∴，∴，

∴，∴，∴.

（2）①，②，

①-②得，，∴.

①中令，∴不符合上式.

∴.

∴当时，③，

④，

③-④得，

∴.

当时，，符合上式，∴.

,

∴，即，∴，∴的最大值为.

考点：1、等比数列的通项公式；2、数列求和；3、错位相减法；4、解不等式．

【易错点睛】在第二问中，用作差法求出数列的通项时，易忽视，而是直接作差求得的通项导致错误，而，因此求的前项和为时也需对分和两种情况来考虑，再解不等式即可．本题考查等差数列、等比数列的综合应用，数列求和以及通项公式的求法，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．