Question

已知函数，其中，为自然对数的底数.

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）当时，求证：对任意的，.

Answer

（1）函数在上为减函数；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）对函数求导,利用函数的单调性与导数的关系,得出函数的单调性；（2）对任意的，等价于对任意的，,再构造函数,求导,利用导数,求出的最大值小于零.

试题解析：【解析】
（1）当时，，，

，

∵当时，，∴.

∴在上为减函数.

（2）设，，，

令，，则，

当时，，有，

∴在上是减函数，即在上是减函数，

又∵，，

∴存在唯一的，使得，

∴当时，，在区间单调递增；

当时，，在区间单调递减，

因此在区间上，

∵，∴，将其代入上式得

，

令，，则，即有，，

∵的对称轴，∴函数在区间上是增函数，且，

∴，

即任意，，

∴，因此任意，.

考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.导数的综合应用.

【思路点晴】本题考查了利用导数研究函数的单调性,导数的综合应用等知识点,是压轴题.在（2）中,注意等价转换,对任意的，等价于对任意的，,再构造函数,利用单调性,求出函数的最大值, 即,把看成一个整体,就转化为二次函数最大值.本题多次等价转化,难度大,综合性强.