Question

如图，四棱锥中，平面平面，，且，.

（1）求证：平面；

（2）求直线和平面所成角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由已知三角形的边长,满足勾股定理,得到,又平面平面，平面平面，平面，由面面垂直的性质定理,证得平面；（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标,求出平面的法向量和向量的坐标,,计算出结果即可.

试题解析：证明：（1）由，，可得.

由，且，可得.

又，知，所以.

又平面平面，平面平面，

平面，所以平面.

（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，

得，

所以.

可求得平面的一个法向量是，设直线与平面所成的角为，

得.

故直线和平面所成角的正弦值为.

考点：1.面面垂直的性质；2.空间直角坐标系；3.直线与平面所成的角.