Question

已知椭圆的一个焦点为，左右顶点分别为，经过点的直线与椭圆交于两点.

（1）求椭圆方程；

（2）记与的面积分别为和，求的最大值.

Answer

（1）；（2）当,的最大值为.

【解析】

试题分析：（1）由椭圆右焦点坐标得到,由椭圆方程得到,所以；（2）当直线无斜率时，算出,当直线斜率存在时，设直线方程为，联立直线与椭圆方程,消去得,由韦达定理求出的值,而,再由基本不等式求出最大值.

试题解析：【解析】
（1）因为为椭圆的焦点，所以，又，

所以，所以椭圆方程为.

（2）当直线无斜率时，直线方程为，此时，

，面积相等，.

当直线斜率存在时，设直线方程为，设，

和椭圆方程联立得，消掉得，

显然，方程有根，且.

此时.

因为，上式，（时等号成立），

所以的最大值为.

考点：1.求椭圆的方程；2.韦达定理；3.基本不等式.

【易错点晴】本题考查了椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系,属于中档题.在本题（2）中,要考虑直线斜率不存在这种特殊情况,当斜率存在时,要联立直线与椭圆方程,消去得到一个关于的一元二次方程,由韦达定理,求出的值,计算时, 找定值用基本不等式求最大值.本题考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力,难度较大.