Question

已知,,点满足，记点的轨迹为.

（1）求轨迹的方程；

（2）若直线过点且与轨迹交于、两点.

（i）无论直线绕点怎样转动，在轴上总存在定点，使恒成立，求实数的值.

（ii）在（i）的条件下，求面积的最小值.

Answer

（1）（2）（i）（ii）9

【解析】

试题分析：（1）利用双曲线的定义及其标准方程即可得出；（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k（x-2），P，Q，与双曲线方程联立消y得，利用根与系数的关系、判别式解出即可得出．（i）利用向量垂直与数量积的关系、根与系数的关系即可得出；（ii）利用点到直线的距离公式、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出

试题解析：（1）由知，点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，由，故轨迹E的方程为

（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为，与双曲线方程联立消y得，

解得k2 >3

（i）

，

故得对任意的恒成立，

∴当m =－1时，MP⊥MQ.

当直线l的斜率不存在时，由知结论也成立，

综上，当m =－1时，MP⊥MQ.

（ii）由（i）知，，当直线l的斜率存在时，

， M点到直线PQ的距离为，则

∴

令，则，因为

所以

当直线l的斜率不存在时，

综上可知，故的最小值为9.

考点：圆锥曲线的轨迹问题；双曲线的简单性质