Question

在五棱锥P－ABCDE中，PA＝AB＝AE＝2a，PB＝PE＝2a，BC＝DE＝a，∠EAB＝∠ABC＝∠DEA＝90°.

（1）求证：PA⊥平面ABCDE；

（2）求二面角A－PD－E的正弦值.

Answer

（1）详见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）利用勾股定理的逆定理和线面垂直的判定定理即可证明；（2）过E作EH⊥AD于H，EF⊥PD于F，连接FH，利用线面垂直的判定定理可得EH⊥平面PAD，FH⊥PD．于是∠EFH为二面角A-PD-E的平面角．又在Rt△AED和Rt△POE中，利用等积变形和边角关系即可得出

试题解析：（1）在△PAB中，PA＝2a，PB＝2a，AB＝2a

∴PB2＝PA2＋AB2 ∴PA⊥AB

在中，PA＝2a，PE＝2a，AE＝2a

∴PE2＝PA2＋AE2 ∴PA⊥AE

又AB∩AE＝A，AB平面ABCDE，AE平面ABCDE

∴PA⊥平面ABCDE

（2）过E作EH⊥AD于H，过H作HF⊥PD于F，连EF，则EH⊥平面PAD，EF⊥PD

∴∠EFH为二面角A－PD－E的平面角

又在Rt△AED中，EH AD＝AE DEEH＝a

在Rt△PDE中，，EF PD＝DE PEEF＝a，

∴sin∠EFH＝＝

故二面角A－PD－E的正弦值为

考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定