Question

设是一个公差大于0的等差数列，且满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列和数列满足：，求数列的通项公式及其前项和的表达式；

（3）是否存在正整数，使得是中的项？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2），；（3）仅当时，中的项．

【解析】

试题分析：（1）本题需要确定数列的首项和公差．把和代入已知条件中各项，解方程组即可得到，所以；（2）本题的本质是由数列的前项和求通项，由数列的前项与通项的关系，，故，-得：

，则，又，所以；再利用等比数列的前项和的公式即可求出；但需注意从第二项开始才是等比数列；（3）易得．假设存在正整数，使得，即，即，因为奇数与偶数之和不可能是偶数，所以不存在，即只有．

试题解析：（1）设等差数列的公差为，

由得,

由，

由、及，解得，

故

（2）由

故，

-得，即

又，不符合上式，

所以

于是

，

即

（2）易得，

假设存在正整数，使得，即，

所以

又为偶数，

因此，不存在正整数，使得.

综上，仅当时，中的项.

考点：1.等差数列和等比数列；（2）数列的前项与通项的关系；（3）存在性问题．

【一题多解】本题考查的是等差数列、等比数列和数列的前项与通项的关系，属于中档题．设等差数列的公差为，因，故，因是等差数列，故由，可得，又可解得，故，所以另外本题的第（2）问，要注意是否满足，否则容易出错．对于存在性问题一般首先假设存在，再进行推导．